2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 실전 모의고사 3회 해설집

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 3회 - [문제 1] 예시답안 (1/2)

2027학년도 실전 모의고사 3회 [2024학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

전체 직육면체에서 꼭짓점 \(P\)를 포함하고 정사각형 \(25\)개로 이루어진 면을 면 \(X\), 꼭짓점 \(Q\)를 포함하고 정사각형 \(25\)개로 이루어진 면을 면 \(Y\)라 하자. 꼭짓점 \(P\)에서 꼭짓점 \(Q\)까지 최단거리로 가려면 가로, 세로 방향으로 모서리를 \(5\)개씩 지나고, 면 \(X\)와 면 \(Y\)를 잇는 모서리를 \(1\)개 지난다.

가로 방향 이동을 \(d\), 세로 방향 이동을 \(e\), 면 사이 이동을 \(f\)라 하자. 꼭짓점 \(Q\)와 모서리로 연결된 면 \(X\)의 꼭짓점을 \(R\)라 하면, \(P\)에서 \(R\)까지 최단거리 이동 경로의 수는 \(10\)개의 문자 \(d, d, d, d, d, e, e, e, e, e\)를 나열하는 경우의 수 \(\frac{10!}{5! 5!} = 252\)이다.

이 중 색칠된 정육면체의 꼭짓점을 지나는 경로의 수는 \(1 + 5^2 = 26\)이다. 따라서 색칠된 꼭짓점을 지나지 않고 \(P\)에서 \(R\)까지 이동하는 경우의 수는 \(252 - 26 = 226\)이다.

이 경로에 모서리 이동 \(f\)를 하나 삽입하는 방법의 수는 \(11\)가지이므로 총 경우의 수는 \(226 \times 11 = \mathbf{2486}\)이다. 답: \(2486\)

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안

\(c = ab, d = \frac{a-6}{2}\)라 하자. \((a, b)\)의 순서쌍에 따른 \((c, d)\)는 \((0,-4), (4,-4), (0,-3), (6,-3), (0,-2), (8,-2)\)이다.

판별식 \(c^2 - 4d \ge 8 > 0\)이므로 삼차방정식은 세 실근 \(x_1 = -7, x_2 = \frac{c - \sqrt{c^2 - 4d}}{2}, x_3 = \frac{c + \sqrt{c^2 - 4d}}{2}\)을 갖는다. \(x_1 < -2 \le x_2 < x_3\)이 성립한다.

가장 가까운 두 점 사이의 거리는 \(x_2 - x_1\)과 \(x_3 - x_2\)를 비교하면 되며, \(x_2 - x_1 < x_3 - x_2 \iff 9d + 49 < c(2c-7)\)이다. 이를 만족하는 순서쌍은 \((6,1), (8,1)\)이다.

확률변수 \(X\)의 분포표를 작성하면 다음과 같다:

\((a, b)\)	\((4,0)\)	\((4,1)\)	\((6,0)\)	\((6,1)\)	\((8,0)\)	\((8,1)\)
\(X\)	\(4\)	\(4\sqrt{2}\)	\(2\sqrt{3}\)	\(10-2\sqrt{3}\)	\(2\sqrt{2}\)	\(11-3\sqrt{2}\)
\(P\)	\(3/10\)	\(1/5\)	\(1/5\)	\(2/15\)	\(1/10\)	\(1/15\)

기댓값: \(E(X) = 4\times\frac{3}{10} + 4\sqrt{2}\times\frac{1}{5} + 2\sqrt{3}\times\frac{1}{5} + (10-2\sqrt{3})\times\frac{2}{15} + 2\sqrt{2}\times\frac{1}{10} + (11-3\sqrt{2})\times\frac{1}{15} = \mathbf{\frac{49}{15} + \frac{4\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{3}}{15}}\)이다.

답: \(\frac{49}{15} + \frac{4\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{3}}{15}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 3회 - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 실전 모의고사 3회 [2024학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

\(p(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x\)에 대해 \(p'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}\)이므로 \(\frac{d}{dx}p(2x) = -\frac{2}{\sin^2 2x}\)이다.

\[g(x) = \int_{\pi/6}^x \frac{1}{\sin^2 2t}dt = \left[ -\frac{1}{2}\cot 2t \right]_{\pi/6}^x = -\frac{\cos 2x}{2\sin 2x} + \frac{1}{2\sqrt{3}}\]

\[h(x) = \int_{\pi/6}^x g(t)dt = -\frac{1}{4}\ln|\sin 2x| + \frac{1}{4}\ln\left(\sin\frac{\pi}{3}\right) + \frac{x}{2\sqrt{3}} - \frac{\pi}{12\sqrt{3}}\]

이제 극한값을 구하면:

\[\lim_{x \to 0+} \frac{\{g(x)\}^2}{f(x)} = \lim_{x \to 0+} \sin^2 2x \left( -\frac{\cos 2x}{2\sin 2x} + \frac{1}{2\sqrt{3}} \right)^2 = \lim_{x \to 0+} \left( -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{\sin 2x}{2\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{1}{4}\]

\[\lim_{x \to 0+} \frac{h(x)}{f(x)} = \lim_{x \to 0+} \sin^2 2x \left( -\frac{1}{4}\ln|\sin 2x| + \dots \right) = \lim_{t \to 0+} \left( -\frac{1}{4}t^2 \ln t \right) = 0\]

따라서 \(\lim_{x \to 0+} \frac{h(x) + \{g(x)\}^2}{f(x)} = 0 + \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)이다. 답: \(\frac{1}{4}\)

[문제 1] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
1-1	같은 것이 있는 순열을 이용하여 색칠된 꼭짓점을 지나지 않고 \(P\)에서 \(R\)까지 이동하는 경우의 수 \(226\)을 구했는가?	10점
1-1	문자 \(f\)의 삽입 방법을 고려하여 총 경우의 수 \(226 \times 11 = 2486\)을 정확히 도출하였는가?	20점
1-2	곡선과 \(x\)축의 세 교점 사이 거리를 정확히 비교하여 확률변수 \(X\)의 값에 따른 경우를 도출하였는가?	20점
1-2	확률분포표를 올바르게 작성하고 기댓값 \(\frac{49}{15} + \frac{4\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{3}}{15}\)를 계산하였는가?	20점
1-3	함수 \(f(x)\)를 적분하여 함수 \(g(x)\)와 \(h(x)\)를 정확히 구하였는가?	20점
1-3	삼각함수 극한 성질과 주어진 조건(\(\lim t^2 \ln t = 0\))을 이용하여 극한값 \(\frac{1}{4}\)를 도출하였는가?	10점

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 3회 - [문제 2] 예시답안 (1/2)

2027학년도 실전 모의고사 3회 [2024학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

반원을 좌표평면에 두면 \(Q(\cos\theta, \sin\theta)\)이고, \(\overline{PQ}=1\)이므로 중심각 \(\angle POQ = \frac{\pi}{3}\)이다. 따라서 \(P(\cos(\theta+\frac{\pi}{3}), \sin(\theta+\frac{\pi}{3}))\)이다.

선분 \(PQ\)의 중점을 \(R\)라 하면, 선분 \(RH\)는 지름 \(PQ\)인 반원의 반지름이므로 \(\overline{RH} = \frac{1}{2}\)이다. 점 \(R\)의 \(y\)좌표가 \(\overline{RH}\)이므로

\[\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) + \sin\theta\right) \implies 3\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\]

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 연립하여 \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)에서 풀면

\[\mathbf{\cos\theta = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}, \quad \sin\theta = \frac{3 - \sqrt{6}}{6}}\] 답: \(\cos\theta = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}, \sin\theta = \frac{3-\sqrt{6}}{6}\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

호 \(PQ\) 위의 점 \(S\)의 좌표는 \((\cos(\theta+t), \sin(\theta+t))\) (\(0 \le t \le \frac{\pi}{3}\))라 할 수 있다.

선분 \(PQ\)의 중점 \(R\)의 좌표는 \((\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})\)이므로 직선 \(OR\)의 기울기는 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)이고, 직선 \(PQ\)는 \(OR\)과 수직이므로 기울기는 \(-\sqrt{2}\)이다.

직선 \(PQ\)의 방정식은 \(y = -\sqrt{2}x + \frac{3}{2}\)이므로, 점 \(T\)의 좌표는 \((\cos(\theta+t), -\sqrt{2}\cos(\theta+t) + \frac{3}{2})\)이다.

\[\overline{ST} = f(t) = \sin(\theta+t) - \left(-\sqrt{2}\cos(\theta+t) + \frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}\cos t + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t - \frac{3}{2}\]

\(f'(t) = -\frac{3}{2}\sin t + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos t = 0 \implies \tan t = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies t = \frac{\pi}{6}\)이다.

증감표에 따라 \(\overline{ST}\)의 최댓값은 \(f(\frac{\pi}{6}) = \mathbf{\sqrt{3} - \frac{3}{2}}\)이다. 답: \(\sqrt{3} - \frac{3}{2}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 3회 - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 실전 모의고사 3회 [2024학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안

직선 \(l\)과 수직이고 원의 중심 \(O\)를 지나는 평면을 생각하면, 지름이 \(2\)인 반구와 지름이 \(1\)인 반구가 이 평면과 만나서 생기는 단면은 각각 \(\overline{AB}=2\)인 반구와 \(\overline{PQ}=1\)인 반구이다.

평면 \(\alpha\)와 평면 \(\beta\)가 이루는 이면각의 크기를 \(a\)라 하면, 기하학적 대칭성에 의해 \(a = \angle RBH = \angle ORH\)이다.

따라서 \(\cos a = \frac{\overline{RH}}{\overline{OR}}\)이다. 이때 \(\overline{RH} = \frac{1}{2}\)이고, \(\triangle OPQ\)는 한 변의 길이가 \(1\)인 정삼각형이므로 높이 \(\overline{OR} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이다.

따라서 \(\cos a = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)이다.

원 \(C\)의 넓이는 \(\pi (\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{4}\)이므로, 구하는 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이는

\[\frac{\pi}{4}\cos a = \frac{\pi}{4} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\pi}{4\sqrt{3}}}\] 답: \(\frac{\pi}{4\sqrt{3}}\)

[문제 2] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
2-1	좌표평면 설정을 통해 \(\cos\theta\)와 \(\sin\theta\)가 만족시키는 등식을 유도하였는가?	20점
2-1	연립방정식을 정확히 풀어 \(\cos\theta = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}, \sin\theta = \frac{3-\sqrt{6}}{6}\)을 도출하였는가?	20점
2-2	선분 \(ST\)의 길이를 매개변수 \(t\)에 대한 함수식으로 정확히 나타내었는가?	20점
2-2	도함수의 부호 변화를 통해 선분 \(ST\)의 최댓값 \(\sqrt{3} - \frac{3}{2}\)을 구하였는가?	10점
2-3	수직 단면 분석을 통해 두 평면이 이루는 각의 코사인 \(\cos a = \frac{1}{\sqrt{3}}\)을 구하였는가?	20점
2-3	원 \(C\)의 넓이에 \(\cos a\)를 곱하여 정사영의 넓이 \(\frac{\pi}{4\sqrt{3}}\)을 도출하였는가?	10점